CAD/CAE/CAPP 概念与几何建模基础

绪论

CAD不要理解为是我们熟知的autocad,而是Computer Aided Design，他几乎包含了你使用的一切二维三维绘图软件，什么catia、solidworks、autocad都是CAD的产物

CAE指的是Computer Aided Engineering，常用的软件是ABAQUS、COMSOL、ANSYS等

CAPP指的是Computer Aided Planing Production

第二章 几何建模

• 参数化曲线

• 参数化曲面

  • 三维空间内的曲面是多少维度的对象？有几个自由度？

    答案都是两个，想象一只蚂蚁在参数化曲面上面爬，他只有前后、左右的方向感，而不能钻进这个曲面。我们想要定位一个蚂蚁，只需要两个坐标。环境是三维的不代表这个曲面是三维的，只是看起来立体

  • 平面片的一般表达式：这里一定要注意，S(u,w)是一个3x1的矩阵，包括了S$_x$(u,w),S$_y$(u,w),S$_z$(u,w)三个u w的多项式

    

    

    • 直纹面的参数化表达：

      P(u)之所以是矢量是因为他有P$_x$、P$_y$、P$_z$​三个不同的多项式来表示这一条参数化曲线，Q(u)同理

      (1-w)和w你可以理解为在这两条参数化曲线P(u)和Q(u)之间搭了一座直线的桥

      

  • Bezier曲面的一般表达式

    

    • 请思考3×1次Beizier曲面是什么样子？能大概画出来吗？

      类似于直纹面，只不过这次P(u)Q(u)都是三次贝塞尔曲线，在他们之间搭的桥是直线桥，而不是“贝塞尔曲线”。如果是3X3的Beizier曲面，我们在两条三次Beizier曲面之间搭的桥是弯弯曲曲的贝塞尔桥而不是直线了。

    • 分类：

      • 双线性曲面

      • 双三次曲面（m=3,n=3，有16个控制点）

        最常见的，因为它能很好地表达复杂形状，又不太高次

        我的理解是：在四条不同的三次贝塞尔曲线之间进行三次“贝塞尔插值”（姑且这样说吧嘿嘿，我自己编的术语）

        

        

• 图形的几何变换

  • 基本概念和原理

    在几何建模过程中，时常要对图形进行平移、旋转、镜像、缩放等操作，这些操作就是图形的几何变换

    对其进行几何变换仅仅是改变控制点坐标

  • 基本变换

    • 二维

      点的齐次坐标矩阵(需要在右边补1）：

      $$\begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

      变换公式：

      $$V^*=V*T\\ V:变换前图形的控制点齐次坐标矩阵\\ V*:变换后图形的控制点齐次坐标矩阵\\ T:变换矩阵(3*3)$$

      变换矩阵T：

      $$T=\begin{pmatrix} a & b & p \\ c & d & q \\ l & m & s \\ \end{pmatrix}\\ p、q一般为0\\ abcd负责比例、对称、旋转\\ lm负责平移变换\\ s负责等比例变换（ad都为1，s=1/2时表示放大两倍）\\ 1/s才是实际的放大倍数$$

      

      

      

    • 三维

      点的齐次坐标矩阵：

      $$\begin{pmatrix} x_1 & y_1 & z_1& 1 \\ x_2 & y_2 & z_2& 1 \\ x_3 & y_3 & z_3& 1 \\ x_4 & y_4 & z_4& 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$

      变换公式和二维一致，只不过变换矩阵是4*4的

      变换矩阵T：

      $$T=\begin{pmatrix} a & b & e & p \\ c & d & f & q \\ g & h & i & r \\ l & m & n & S \end{pmatrix}\\ pqr一般设置为0\\ abcdefghi负责比例、对称、旋转变换\\ lmn负责平移变换\\ s负责等比例变换$$

      
      
      
      

      • 组合变换

        • 复杂的变换是通过一系列基本变换的组合完成的

          主要思想就是一个公式

          $$T=T_1*T_2*...*T_n$$

          记住，矩阵的乘法不满足交换律，不能改变乘积的变化顺序

          对于任意一个对称的操作，T$^2$​​=I（想想为什么）

过渡章 建模方式

其实我连这章ppt都找不到，这一章真的很神奇

讲了线框建模、表面建模、实体建模，体素法来构建模型，线框建模很有局限，零部件干涉了都不知道，对物体的相对位置很不清楚；曲面建模相比实体建模，生成有限元网络模型的能力较弱

这一页ppt很重要，总之就是：

下面的推导大致思想是：利用高斯定理，把计算任意三维图形的体积转换为用表面积来计算，但其实不是听的很懂，但是这个思想真的很妙的，我们只需要把任意三维图形分成足够小的面片，就可以通过表面积和重心，以及切向量计算体积，把三维的问题转换成了二维的问题

第三章 有限元分析

印象很深刻的一句话是：解决受力问题不可以用受力分析

• 一维弹簧单元

  

• 一维弹簧系统

  

  

  这里的矩阵本质上是每一部分刚度矩阵的叠加，节点数目随便你有多少，思路都是一样的，而且这个方法和编号无关（？），有一些节点如果没有相对运动，节点就是可以合并的

  判断你的刚度矩阵写的对不对有三种方法：

  1. 看节点 找弹簧k1k2k3…有多少弹簧连着，对角上就一定有这些弹簧的k相加

  2. 看弹簧 找节点

     每看到一根弹簧k连接 i 和 j，就在总刚度矩阵里做以下四件事：

     1. K_{ii} 加上 +k
     2. K_{jj} 加上 +k
     3. K_{ij} 加上 -k
     4. K_{ji} 加上 -k

  3. 所有行列加起来都一定是0

• 杆单元

  • 一维杆单元

    其实相比弹簧并没有什么区别，把k换成AE/L就可以了

    

  • 二维杆单元

    涉及到了坐标系的旋转变换，局部坐标系和xy坐标系对于杆的表述存在变换关系的

    这一步我懂了：就是我们不能因为他在局部坐标系下不存在v$^,$方向的位移，我们就忽略他，因为在另一个坐标系下,v方向上是存在位移的。感觉好像悟到了人生哲理：有些事情你可能在拥有的时候觉得微不足道，但是当你有某些瞬间用上的时候才发现是真的不可或缺

    

    涉及到坐标旋转变换（忘了的话看前面去）

    

    

    c指的是cosθ，s指的是sinθ

  • 二维桁架系统

    思想和一维弹簧系统的类似，只不过会有u、v两个分量了，写后面的基底的时候记得就好

    

• 势能法

  感觉这一部分的是对于前面的推导过程的降维打击，可以通过一个很简单的总势能泛函就解决很复杂的一些问题，其中最典型的就是杆件如果受到线分布式力、体分布式力的情况了（至于一维杆单元能不能受到表面分布式力的话另说，总感觉哪里怪怪的）

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经验提炼

1. “有些事情拥有的时候觉得微不足道，用上的时候才发现不可或缺。” 学2D杆单元时悟到的——局部坐标系下为零的位移，在全局坐标系下可能不为零。生活中的很多知识也是这样，学的时候不知道有什么用，某天突然就用上了。

2. 几何变换只作用于控制点，不作用于曲面本身。 这是贝塞尔曲面最优雅的性质之一。记住这一点，变换操作就不会搞混。

3. “解决受力问题不可以用受力分析”——用能量法。 势能法是对牛顿力学的"降维打击"，尤其在处理分布式载荷时，比受力分析简洁得多。

4. 组合变换的矩阵乘法不满足交换律。 先旋转再平移 ≠ 先平移再旋转。操作顺序搞反了，结果完全不同。

5. 对称变换矩阵的平方等于单位矩阵。 这个数学性质很美：做两次对称就回到原点。可以用来快速验证你的对称矩阵是否正确。